Da un gruppo di 7 uomini e 6 donne, cinque persone devono essere selezionate per formare un comitato in modo che almeno 3 uomini siano presenti nel comitato. In quanti modi può essere fatto?
Risposte
11/22/2024
Aday
Già alcune buone risposte qui, ma voglio aggiungere un altro modo di guardare al problema che porterà allo stesso identico risultato. Tutte le risposte finora contano direttamente i modi per formare un comitato con tre, quattro o cinque uomini. Possiamo anche risolvere questo problema utilizzando il conteggio complementare, che in pratica significa che possiamo contare tutti i modi possibili per formare un comitato (chiamiamolo [math] N [/ math]) e tutti i modi possibili per formare un comitato con meno di tre uomini (chiamiamolo questo [math] M [/ math]). La nostra risposta finale è allora [math] N - M [/ math].
Numero di modi per formare un comitato in generale:
[math] N = \ binom {13} {5} = 1287 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con 2 uomini e 3 donne:
Numero di modi per formare un comitato con 0 uomini e 5 donne:
[math] {6 \ choose 5} = 6 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con meno di 3 uomini: [math] M = 420 + 105 + 6 = 531 [/ math]
Pertanto, il numero di modi per formare un comitato con almeno tre uomini è [math] N - M = 1297 - 531 = 756 [/ math], che è la stessa risposta che ottieni se rispondi a questo problema senza utilizzare il conteggio gratuito.
Ora, in questo problema, non c'è necessariamente un modo più semplice per farlo, ma per alcune domande, affrontare il problema da una prospettiva di conteggio complementare è significativamente più semplice. Un buon esempio di ciò è se questo problema chiedesse invece in quanti modi può essere formato questo comitato con almeno un uomo al suo interno. La versione del conteggio complementare di questo problema è molto più facile da affrontare.
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Già alcune buone risposte qui, ma voglio aggiungere un altro modo di guardare al problema che porterà allo stesso identico risultato. Tutte le risposte finora contano direttamente i modi per formare un comitato con tre, quattro o cinque uomini. Possiamo anche risolvere questo problema utilizzando il conteggio complementare, che in pratica significa che possiamo contare tutti i modi possibili per formare un comitato (chiamiamolo [math] N [/ math]) e tutti i modi possibili per formare un comitato con meno di tre uomini (chiamiamolo questo [math] M [/ math]). La nostra risposta finale è allora [math] N - M [/ math].
Numero di modi per formare un comitato in generale:
[math] N = \ binom {13} {5} = 1287 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con 2 uomini e 3 donne:
[math] {7 \ choose 2} \ binom {6} {3} = 420 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con 1 uomo e 4 donne:
[math] {7 \ choose 1} \ binom {6} {4} = 105 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con 0 uomini e 5 donne:
[math] {6 \ choose 5} = 6 [/ math]
Numero di modi per formare un comitato con meno di 3 uomini: [math] M = 420 + 105 + 6 = 531 [/ math]
Pertanto, il numero di modi per formare un comitato con almeno tre uomini è [math] N - M = 1297 - 531 = 756 [/ math], che è la stessa risposta che ottieni se rispondi a questo problema senza utilizzare il conteggio gratuito.
Ora, in questo problema, non c'è necessariamente un modo più semplice per farlo, ma per alcune domande, affrontare il problema da una prospettiva di conteggio complementare è significativamente più semplice. Un buon esempio di ciò è se questo problema chiedesse invece in quanti modi può essere formato questo comitato con almeno un uomo al suo interno. La versione del conteggio complementare di questo problema è molto più facile da affrontare.